597.2 736.1 736.1 527.8 527.8 583.3 583.3 583.3 583.3 750 750 750 750 1044.4 1044.4 /Subtype/Type1 472.2 472.2 472.2 472.2 583.3 583.3 0 0 472.2 472.2 333.3 555.6 577.8 577.8 597.2 /FirstChar 33 /FontDescriptor 15 0 R /LastChar 196 /FontBBox[-170 -331 1024 903] /Descent -271 /DescendantFonts[21 0 R] 593.7 500 562.5 1125 562.5 562.5 562.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 /BaseFont/BJQRRX+CMR12 /BaseFont/XYEORV+CMEX10 >> 31 0 obj ?=`��i��. /FirstChar 33 22 0 obj 812.5 875 562.5 1018.5 1143.5 875 312.5 562.5] /Type/Font << フーリエ変換を解説していきましょう。ここではフーリエ変換がどんなものか知ってもらうため、数式を使わないことにした。したがって、フーリエ変換の定義すらしない。, 聖徳太子（厩戸王）さんは１０人の話を理解できたらしい。ここでは下の図のような３人が言葉を同時に発している場合を考える。, 聖徳太子さんはそれぞれ、「こんにちは」「ありがとう」「ひさしぶり」を同時に聞くことになる。, このような、「さまざまな要素が混ざり合っているもの」を「それぞれの要素」に分解するのがフーリエ変換のイメージである。このとき、分解した結果として、, 先ほどは要素として「こんにちは」「ありがとう」「ひさしぶり」を考えたが、ここではより一般的な波を考えることにする。, 波を「山の数」と「山の高さ」でまとめると下のようになる。山の高さはわかりやすいように小さい方から 1、2、3 とした。, この数字を、横軸に「山の数」、縦軸に「山の高さ」として表すことができる。これでフーリエ変換は完了したことになる。, 実際は「合成された後の波」から出発して、その合成波がどのような波でできているか調べるのがフーリエ解析である。これは合成波をそれぞれの波に「分解」する感じである。, 一方で、それぞれの波から合成波をつくる変換が「逆フーリエ変換」に対応するイメージである。したがって、下のような関係にある。, フーリエ変換は合成波をそれぞれの波の要素に分解できた。もしかしたら、ノイズのようにいらない波の要素も入っているかもしない。, たとえば、聖徳太子に向かって３人が「こんにちは」「ありがとう」「ひさしぶり」とパーティー会場で言った場合はノイズだらけになるだろう。, 画像でも音でも、波の中にあるノイズを取り除くことができるのがフーリエ変換の応用になる。, ここでは不要な波としてノイズを考えた。他にも特定の波の成分を取り除くことができるため、画像データ、音楽データ、動画データなどの圧縮にも使われる。, 音楽の場合は、高音すぎる音（振動数の大きい波）の成分は人間が聞き取ることができないため、取り除いても音質は変わらないだろう。画像や動画データについても同じく、いらない成分をフーリエ解析によって取り除くことができるだろう。, については触れなかった。これを扱うためには数式の導入が必要になるが、これは違うところで説明する。, 次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。, 物理を中心に勉強する生き物のブログ。量子力学、物理数学を中心にお絵描きしながら学ぶ。計算ノートも兼ねて公開する。. /Encoding/H /LastChar 196 /Supplement 2 /DW 1000 761.6 679.6 652.8 734 707.2 761.6 707.2 761.6 0 0 707.2 571.2 544 544 816 816 272 506.3 632 959.9 783.7 1089.4 904.9 868.9 727.3 899.7 860.6 701.5 674.8 778.2 674.6 /DW 1000 >> /Panose(\001\005\002\002\003\000\000\000\000\000\000\000) 249.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 249.6 249.6 endobj 777.8 777.8 1000 1000 777.8 777.8 1000 777.8] /Subtype/Type1 444.4 611.1 777.8 777.8 777.8 777.8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 693.3 563.1 249.6 458.6 249.6 458.6 249.6 249.6 458.6 510.9 406.4 510.9 406.4 275.8 endobj /FirstChar 33 500 500 611.1 500 277.8 833.3 750 833.3 416.7 666.7 666.7 777.8 777.8 444.4 444.4 /Subtype/Type1 << 1000 1000 1055.6 1055.6 1055.6 777.8 666.7 666.7 450 450 450 450 777.8 777.8 0 0 /Type/Font 第4章 2次元フーリエ変換 ── 125 F(u,v) = Ae i2 (ux+vy)dxdy = Ae i2 ux e i2 vy a {} a dy a a dx = A e i2 ux i2 u a a e i2 vy i2 v a a = A e i2 ua +e i2 u( a) i2 u e i2 va +e i2 v( a) i2 v = A ei2 ua e i2 ua i2 u ei2 va e i2 va i2 v 2行の指数関数の積分は以下の公式を利用した． bx a a /Type/Encoding << 588.6 544.1 422.8 668.8 677.6 694.6 572.8 519.8 668 592.7 662 526.8 632.9 686.9 713.8 /BaseFont/NGHHML+CMSY7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 458.3 458.3 416.7 416.7 388.9 1000 1000 416.7 528.6 429.2 432.8 520.5 465.6 489.6 477 576.2 344.5 411.8 520.6 34 0 obj /Subtype/Type1 /Name/F10 /LastChar 196 /Widths[1138.9 585.3 585.3 1138.9 1138.9 1138.9 892.9 1138.9 1138.9 708.3 708.3 1138.9 << 585.3 831.4 831.4 892.9 892.9 708.3 917.6 753.4 620.2 889.5 616.1 818.4 688.5 978.6 /Widths[342.6 581 937.5 562.5 937.5 875 312.5 437.5 437.5 562.5 875 312.5 375 312.5 /Subtype/Type1 /Differences[33/exclam/quotedblright/numbersign/dollar/percent/ampersand/quoteright/parenleft/parenright/asterisk/plus/comma/hyphen/period/slash/zero/one/two/three/four/five/six/seven/eight/nine/colon/semicolon/exclamdown/equal/questiondown/question/at/A/B/C/D/E/F/G/H/I/J/K/L/M/N/O/P/Q/R/S/T/U/V/W/X/Y/Z/bracketleft/quotedblleft/bracketright/circumflex/dotaccent/quoteleft/a/b/c/d/e/f/g/h/i/j/k/l/m/n/o/p/q/r/s/t/u/v/w/x/y/z/endash/emdash/hungarumlaut/tilde/dieresis/Gamma/Delta/Theta/Lambda/Xi/Pi/Sigma/Upsilon/Phi/Psi/Omega/ff/fi/fl/ffi/ffl/dotlessi/dotlessj/grave/acute/caron/breve/macron/ring/cedilla/germandbls/ae/oe/oslash/AE/OE/Oslash/suppress/Gamma/Delta/Theta/Lambda/Xi/Pi/Sigma/Upsilon/Phi/Psi *��r�Q�Fi��d��w���ܞ�'c�f���ys��W�4��)O��(Q�;y1\��_��CLO�HLe22��TG2�c��ʐ>2��ۓ��Y�aNMS1W#��|P�E����ÖC�"#y�"3q)�b�/̳ѯ~NBs2�v�U�~�_�������As��Z��͉:J�y-)]$5���Dh;-�$�
')xh�F���l�@V�i��"�.�U�ߜHj�lK��ڹ���f��X����Q����}J��.j���wZ�C���[I��������T���z*6Q�~�j}�C��Pt\���?��[ΰ����O��,AV���J�r�6Q��W57o*�x���ʙ�4#>���_sŴqbL�y\H������\�8�.�l�l�L�=����y�͐�J��!��DJ��/��P۠u�`t��y�P&6R�?��1�)4�F^���:�� ���_
dll�sN�;�Բ��ڈ}�K�jF��/���oi �.��8���_Ë=j��/,B`Bd��U�)�����XĊ��:Zњ���S
�)��-��r��s��g���wE-��b-�S� �3�ĵx .�ӦRM9}7�s��/H��
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�H�@K%�Vk%�V�� }���x�@��]��h.��2P#C.���i���R��5���'�_U*e0: b��!��l`�Mf9��tD-y�!��o��`�x�W��6���B��@g��`y�ۻL�2����! /LastChar 196 /CapHeight 737 /Style<< sBK�D�W�f��E�������%L�իv�3� ��5��� << /ItalicAngle 0 << /Name/F1 << /Name/F8 x��Zkw����_A:�� �X�I=,�ԃI+KN�8�l���v"'i{N���x���n����ٙ�;3��(�{oz�3�m��ʞL"��^�LI��i�h��`w{����|�?�p4[�U=�"%16UQ*{�6pi�ᷛ��?����Ⱥ|��[��Cs_Z���K��L���쇭t:�����'e�Y�����ZF�c. /Registry(Adobe) /Widths[622.5 466.3 591.4 828.1 517 362.8 654.2 1000 1000 1000 1000 277.8 277.8 500 /Type/Font /FontDescriptor 24 0 R 544 516.8 380.8 386.2 380.8 544 516.8 707.2 516.8 516.8 435.2 489.6 979.2 489.6 489.6 /BaseFont/GothicBBB-Medium-H /Encoding/H 各点群ごとにフーリエ変換を行い、数式に変換します。 (フーリエ変換についてはフーリエ変換の本質などを参考にしてください。fCs = fourierComponents [hLines]; Show [ParametricPlot [Evaluate [makeFourierSeries [#, t, 100] & / @ fCs], {t, -Pi, Pi}, Axes -> False]]. >> 523.8 585.3 585.3 462.3 462.3 339.3 585.3 585.3 708.3 585.3 339.3 938.5 859.1 954.4 1444.4 555.6 1000 1444.4 472.2 472.2 527.8 527.8 527.8 527.8 666.7 666.7 1000 1000 734 761.6 666.2 761.6 720.6 544 707.2 734 734 1006 734 734 598.4 272 489.6 272 489.6 173/Omega/ff/fi/fl/ffi/ffl/dotlessi/dotlessj/grave/acute/caron/breve/macron/ring/cedilla/germandbls/ae/oe/oslash/AE/OE/Oslash/suppress/dieresis 1138.9 1138.9 892.9 329.4 1138.9 769.8 769.8 1015.9 1015.9 0 0 646.8 646.8 769.8 /FontDescriptor 33 0 R 530.4 539.2 431.6 675.4 571.4 826.4 647.8 579.4 545.8 398.6 442 730.1 585.3 339.3 8 0 obj 1074.4 936.9 671.5 778.4 462.3 462.3 462.3 1138.9 1138.9 478.2 619.7 502.4 510.5 /FontName/Ryumin-Light /Widths[719.7 539.7 689.9 950 592.7 439.2 751.4 1138.9 1138.9 1138.9 1138.9 339.3 /Type/Font 667.6 719.8 667.6 719.8 0 0 667.6 525.4 499.3 499.3 748.9 748.9 249.6 275.8 458.6 (3) /Widths[1000 500 500 1000 1000 1000 777.8 1000 1000 611.1 611.1 1000 1000 1000 777.8 /Flags 4 /Type/Font << >> /Type/FontDescriptor /Registry(Adobe) 892.9 892.9 892.9 892.9 892.9 892.9 892.9 892.9 892.9 892.9 892.9 1138.9 1138.9 892.9 611.1 798.5 656.8 526.5 771.4 527.8 718.7 594.9 844.5 544.5 677.8 762 689.7 1200.9 20 0 obj 465 322.5 384 636.5 500 277.8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 /BaseFont/GothicBBB-Medium >> Δq･Δk≧1(フーリエ変換の性質) 両辺にhをかけると、 Δp･Δq≧h が出てくる。 1.9、人の声の周波数分析 座頭市の前に スペクトル包絡 母音のフォルマント 第1、第2フォルマントによる母音の分類 endobj /BaseFont/XXFLFD+CMMI7 /LastChar 196 687.5 312.5 581 312.5 562.5 312.5 312.5 546.9 625 500 625 513.3 343.7 562.5 625 312.5 255/dieresis] 458.6 510.9 249.6 275.8 484.7 249.6 772.1 510.9 458.6 510.9 484.7 354.1 359.4 354.1